Опубликовано 26.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Помогите решить задачу:
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20%

Ответ оставил Гость

Пусть в кредит на n месяцев взяли s_0 рублей. Тогда:
- после первого месяца остаток по кредиту s_1=1.01s_0-v_1
- после второго месяца s_2=1.01s_1-v_2
- и так далее
- после n-ого (последнего) месяца s_n=1.01s_{n-1}-v_n,
где v_1, / v_2, / ..., / v_n - выплаты в 1, 2, ..., n месяце. Заметим, что последний остаток s_n=0, так как через n месяцев весь кредит выплачен.

По условию известно, что общая сумма выплат на 20% больше суммы, взятой в кредит:
v_1+v_2+...+v_n=1.2s_0

В системе /left/{/begin{array}{l} s_1=1.01s_0-v_1 // s_2=1.01s_1-v_2 // ... // s_n=1.01s_{n-1}-v_n /end{array} сложим все уравнения, после чего слагаемые вида v_i перенесем влево, а слагаемые вида s_i - вправо.
Получим выражение:
v_1+v_2+...+v_n=1.01(s_0+s_1+...+s_{n-1})-(s_1+s_2+...+s_n)
Выражение стоящее слева заменяем на 1.2s_0:1.2s_0=1.01(s_0+s_1+...+s_{n-1})-(s_1+s_2+...+s_n)
Удобно в первую скобку добавить нулевое слагаемое s_n:1.2s_0=1.01(s_0+s_1+...+s_n)-(s_1+s_2+...+s_n)
Первую скобку раскроем частично следующим образом:1.2s_0=1.01s_0+1.01(s_1+...+s_n)-(s_1+s_2+...+s_n)
Приводим подобные:
0.19s_0=0.01(s_1+...+s_n) /// 19s_0=s_1+...+s_n

По условию сказано, что "15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца". Это означает, что s_0, / s_1, / s_2, / ..., / s_n уменьшаются равномерно, то есть составляют арифметическую прогрессию.
Найдем сумму s_1+...+s_n:
19s_0= /dfrac{s_1+s_n}{2}/cdot n
Так как s_n=0, то выражение упрощается:
19s_0= /dfrac{s_1}{2}/cdot n
Введем разность прогрессии d. Тогда:
19s_0= /dfrac{s_0+d}{2}/cdot n
Выразим s_n через первый член и разность прогрессии:
s_n=s_0+dn
Так как s_n=0, то s_0=-dn. Подставляем в соотношение:-19dn= /dfrac{-dn+d}{2}/cdot n /// 19dn= /dfrac{n-1}{2}/cdot dn /// 19= /dfrac{n-1}{2} /// n-1=38 /// /Rightarrow n=39
Ответ: 39 месяцев

Не нашел нужный ответ?

Если ответ по предмету Алгебра отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.


Найти другие ответы