Опубликовано 26.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Сумма трех положительных чисел,составляющих арифметическую прогрессию, равна 12. Если ко второму изних прибавить 2, к третьему 12, а первое оставить без изменения, получится геометрическая прогрессия. Найдите произведение исходных трёх чисел.

Ответ оставил Гость

Пусть первый член арифметической прогрессии $a_1$ , второй - $a_2=a_1+d$ , третий - $a_3=a_1+2d$ . Их сумма по условию равна 12:
$a_1+a_2+a_3=12 /// a_1+a_1+d+a_1+2d=12 /// 3a_1+3d=12 /// a_1+d=4$
Первый член геометрической прогрессии в этом случае $b_1=a_1$ , второй - $b_2=a_2+2=a_1+d+2$ , третий - $b_3=a_3+12=a_1+2d+12$ .
Запишем характеристическое свойство геометрической прогрессии:
$b_2^2=b_1b_3 /// (a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12)$
Объединяем два уравнения в систему:
$/left/{/begin{array}{l} a_1+d=4 // (a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12) /end{array}$
$/left/{/begin{array}{l} a_1+d=4 // (4+2)^2=a_1(4+d+12) /end{array}$
$/left/{/begin{array}{l} d=4-a_1 // a_1(d+16)=36 /end{array}$
$a_1(4-a_1+16)=36 /// a_1(20-a_1)=36 /// 20a_1-a_1^2=36 /// a_1^2-20a_1+36=0 /// (a_1-18)(a_1-2)=0$
1.
$(a_1)_1=18 /Rightarrow d=4-18=-14; / a_2=4; / a_3=-10$ - не все члены положительные числа - противоречие условию
2.
$(a_1)_2=2 /Rightarrow d=4-2=2; / a_2=4; / a_3=6 /// a_1a_2a_3=2/cdot4/cdot6=48$
Ответ: 48