Опубликовано 26.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

1)lim 3x / (корень из (5-x) - корень из (5+x)) при x стремящемся к 0
2)lim (1/(x-2) - 4/(x^2-4)) при x стремящемся к 2
3)lim arcsin5x/(x^2-x) при x стремящемся к 0
4)lim ((1-x)/(2-x))^3x при x стремящемся к бесконечности

Ответ оставил Гость

1) Неопределённость 0/0 раскрываем умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое знаменателю, т.е. на $/sqrt{5-x} + /sqrt{5+x}$
$/lim_{n /to /inft0} /frac{3x}{/sqrt{5-x} - /sqrt{5+x}} =/lim_{n /to /inft0} /frac{3x*(/sqrt{5-x} + /sqrt{5+x})}{(/sqrt{5-x} - /sqrt{5+x})*(/sqrt{5-x} + /sqrt{5+x})} =$
В знаменателе разложение разности квадратом, используем это:
$=/lim_{n /to /inft0} /frac{3x*(/sqrt{5-x} + /sqrt{5+x})}{(5-x) - (5+x)} =/lim_{n /to /inft0} /frac{3x*(/sqrt{5-x} + /sqrt{5+x})}{-2x} =$
Сокращаем:
$=- /frac{3}{2} /lim_{n /to /inft0} (/sqrt{5-x} + /sqrt{5+x}) =- /frac{3}{2} (/sqrt{5-0} + /sqrt{5+0})=$
$=- /frac{3}{2} (/sqrt{5-0} + /sqrt{5+0})=- /frac{3}{2}* 2/sqrt{5}=-3/sqrt{5}$

2) Неопределённость (∞-∞) раскрываем, приводя к общему знаменателю:
$/lim_{n /to /inft2} ( /frac{1}{x-2} - /frac{4}{ x^{2} -4})= /lim_{n /to /inft2} /frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)} =/lim_{n /to /inft2} /frac{x-2}{(x-2)(x+2)} =$
Сокращаем:
$=/lim_{n /to /inft2} /frac{1}{x+2} = /frac{1}{2+2} = /frac{1}{4}$

3) Неопределённость 0/0 раскрываем по первому замечательному пределу, вернее по одному из следствий из него, а именно: $/lim_{n /to /inft0} /frac{arcsinx}{x} =1$
$/lim_{n /to /inft0} /frac{arcsin5x}{ x^{2} -x}=/lim_{n /to /inft0} /frac{arcsin5x}{ x(x-1)}=/lim_{n /to /inft0} /frac{1}{x-1} * /lim_{n /to /inft0} /frac{arcsin5x}{ x}=$
Знаменатель разложили на множители, затем по свойству предел произведения равен произведению пределов, разбили на 2 предела:
$=-1 * /lim_{n /to /inft0} /frac{5*arcsin5x}{5 x}=$
Первый предел равен минус единице, второй приводим к первому замечательному пределу домножением на 5 числителя и знаменателя.
$=-1 *5* /lim_{n /to /inft0} /frac{arcsin5x}{5 x}=-1*5*1=-5$

4) Неопределённость 1 в степени ∞ раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но сначала путём преобразований приведём к виду, когда его можно будет применить.
В числителе добавили и вычли 1, затем сгруппировали и разделили.
$/lim_{n /to /infty} ( /frac{1-x}{2-x} ) ^{3x} = /lim_{n /to /infty} (/frac{(2-x)-1}{2-x} ) ^{3x} = /lim_{n /to /infty} ( 1-/frac{1}{2-x} ) ^{3x} =$
Потом поменяли знак второго слагаемого
$= /lim_{n /to /infty} ( 1+/frac{1}{x-2} ) ^{3x} =$
Сделаем замену t=1/(x-2), при этом t →0 и $x= /frac{1}{t} +2$
$= /lim_{n /to /infty} ( 1+t) ^{3*( /frac{1}{t} +2)}=/lim_{n /to /infty} ( 1+t) ^{ /frac{3}{t} +6}=$
Отделим целочисленную степень (6):
$=/lim_{n /to /infty} ( 1+t) ^{6}*( 1+t) ^{ /frac{3}{t}}=lim_{n /to /infty} ( 1+t) ^{6}*lim_{n /to /infty} ( 1+t) ^{ /frac{3}{t}}=$
Разбили на произведение пределов, первый из которых равен 1, второй по второму замечательному пределу:
$=1*lim_{n /to /infty} (( 1+t) ^ /frac{1}{t} )^3=(lim_{n /to /infty} ( 1+t) ^ /frac{1}{t} )^3=$
Сначала можно вычислить предел, а затем возвести его в степень:
$=(e )^3=e ^{3}$