Опубликовано 26.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую (x+1)/3=(y-2)/-1=z/4 и перпендикулярной плоскости 3x+y-z+2=0

Ответ оставил Гость

$/dfrac{x-x_0}{l} = /dfrac{y-y_0}{m} = /dfrac{z-z_0}{n}$ - уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0;/ y_0;/ z_0)$ , с направляющим вектором $/{l;/ m;/ n/}$
$/dfrac{x+1}{3} = /dfrac{y-2}{-1} = /dfrac{z}{4}$ - уравнение прямой, проходящей через точку $(-1;/ 2;/ 0)$ , с направляющим вектором $/vec{s}=/{3;/ -1;/ 4/}$

$Ax+By+Cz+D=0$ - уравнение плоскости с нормальным вектором $/{A;/ B;/ C/}$
$3x+y-z+2=0$ - уравнение плоскости с нормальным вектором $/vec{n}=/{3;/ 1;/ -1/}$

Искомое уравнение плоскости имеет вид:
$Ax+By+Cz+D=0$

Так как искомая плоскость проходит через заданную прямую, то она проходит и через точку (-1; 2; 0):
$-A+2B+D=0$

Так как искомая плоскость проходит через заданную прямую, то можно считать, что она параллельна заданной прямой. В этом случае, направляющий вектор прямой и нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярны, а значит их скалярное произведение равно 0:
$/vec{s} /cdot /vec{N} =0$
$3A-B+4C=0$

Так как искомая плоскость перпендикулярная заданной плоскости, то их нормальные векторы перпендикулярны, то есть скалярное произведение этих векторов равно 0:
$/vec{n} /cdot /vec{N} =0$
$3A+B-C=0$

Составляем систему:
$/left/{/begin{array}{l} -A+2B+D=0 // 3A-B+4C=0 // 3A+B-C=0 /end{array}$
Складываем второе и третье уравнение:
$6A+3C=0 /// 2A+C=0 /// C=-2A$
Подставляем выражение для С в третье уравнение:
$3A+B+2A=0 /// B=-5A$
Подставляем выражение для В в первое уравнение:
$-A-10A+D=0 /// D=11A$

Искомое уравнение плоскости:
$Ax-5Ay-2Az+11A=0 /// x-5y-2z+11=0$