Опубликовано 26.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Найти значение выражения
$/log_{ /sqrt{12} } 18 * /log_{24} 54 +10*( /log_{12} 18-/log_{24} 54 )$

Ответ оставил Гость

Преобразуем выражения:

$/log_{12} 18=/dfrac{/log_2 18}{/log_2 12}=/dfrac{/log_2 (2/cdot3^2)}{/log_2 (2^2/cdot3)}=/dfrac{/log_2 2+/log_23^2}{/log_22^2+/log_23} = /// =/dfrac{/log_2 2+2/log_23}{2/log_22+/log_23} = /dfrac{1+2/log_23}{2+/log_23} = /dfrac{1+2a}{2+a}$

$/log_{ /sqrt{12} } 18 = /log_{ 12^{0.5} } 18 = /frac{1}{0.5} /log_{ 12} 18 = 2 /log_{ 12} 18=2/cdot/dfrac{ 2a+1}{ a+2 }$

$/log_{24} 54 = /dfrac{/log_2 54}{/log_2 24} =/dfrac{/log_2 (2/cdot 3^3)}{/log_2 (2^3/cdot 3)} =/dfrac{/log_2 2+/log_23^3}{/log_22^3+/log_23} = /// =/dfrac{/log_2 2+3/log_23}{3/log_22+/log_23} =/dfrac{1+3/log_23}{3+/log_23} =/dfrac{1+3a}{3+a}$

Обозначение: $a=/log_23$

Выражение перепишется в виде:
$/log_{ /sqrt{12} } 18 /cdot /log_{24} 54 +10/cdot( /log_{12} 18-/log_{24} 54 )= /// = 2/cdot/dfrac{ 2a+1}{ a+2 } /cdot /dfrac{3a+1}{ a+3 } +10/cdot/left( /dfrac{ 2a+1}{ a+2 }-/dfrac{3a+1}{ a+3 } /right)= /// =2/cdot/dfrac{( 2a+1)(3a+1)}{ (a+2)(a+3) } +10/cdot /dfrac{ (2a+1)(a+3)-(3a+1)(a+2)}{( a+2)(a+3) } /// =2/cdot/dfrac{6a^2+2a+3a+1}{ (a+2)(a+3) } +10/cdot /dfrac{2a^2+a+6a+3-3a^2-6a-a-2}{( a+2)(a+3) } /// =2/cdot/dfrac{6a^2+5a+1}{ (a+2)(a+3) } +10/cdot /dfrac{-a^2+1}{( a+2)(a+3) }=$
$=/dfrac{12a^2+10a+2}{ (a+2)(a+3) } + /dfrac{-10a^2+10}{( a+2)(a+3) }=/dfrac{12a^2+10a+2-10a^2+10}{ (a+2)(a+3)} = /// =/dfrac{2a^2+10a+12}{ a^2+2a+3a+6 } =/dfrac{2(a^2+5a+6)}{ a^2+5a+6 } =2$