Опубликовано 26.01.2018 по предмету Геометрия от Гость

Дан прямой параллелепипед, у которого стороны основания, равные 16 и 12 см, составляют угол 60 град., а боковое ребро есть средняя пропорциональная между сторонами основания. Найдите диагонали параллелепипеда.

Ответ оставил Гость

Рассмотрим сначала основание, в основании лежит параллелограмм, найдем диагонали p1 и p2 этого параллелограмма. По теореме косинусов:
$p_1^2 = 16^2 + 12^2 - 2 /cdot 16 /cdot 12 /cdot /cos(60^{/circ}) =$
$= 256 + 144 - 2 /cdot 16 /cdot 12 /cdot /frac{1}{2} =$
$= 400 - 16/cdot 12$
$p_2^2 = 16^2 + 12^2 - 2/cdot 16 /cdot 12 /cdot /cos(120^{/circ}) =$
$= 256 + 144 - 2 /cdot 16 /cdot 12 /cdot (-/frac{1}{2}) =$
$= 256 + 144 + 16 /cdot 12 = 400 + 16 /cdot 12$ .
Т.к. дан прямой параллелепипед, то боковые ребра перпендикулярны основаниям этого параллелепипеда. Диагонали параллелепипеда найдем по теореме Пифагора. По условию, высота параллелепипеда
$h^2 = 16 /cdot 12$ (высота есть среднее пропорциональное между сторонами основания).
$d_1^2 = p_1^2 + h^2 = 400 - 16 /cdot 12 + 16 /cdot 12 = 400$
$d_1 = /sqrt{400} = 20$
$d_2^2 = p_2^2 + h^2 = 400 + 16 /cdot 12 + 16 /cdot 12 =$
$= 400+ 2 /cdot 16 /cdot 12 = 400 + 384 = 784$
$d_2 = /sqrt{784} = 28$ .
Ответ. 20 и 28.