Опубликовано 26.01.2018 по предмету Геометрия от Гость

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельный основаниям, равен 7,5, а отрезок, параллельный данному отрезку и разбивающий данную трапецию на две равновеликие, равен 5√5.
Найдите основания трапеции.

Ответ оставил Гость

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельный основаниям трапеции, соединяющий две точки на боковых сторонах,делится точкой пересечения пополам, и его длина равна среднему гармоническому оснований трапеции, то есть

$7,5= /frac{2ab}{a+b}$

Длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований, то есть

$5/sqrt5= /sqrt{ /frac{a^2+b^2}{2} }$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$/left /{ {{/frac{2ab}{a+b}=7,5} /atop {/sqrt{/frac{a^2+b^2}{2}}=5/sqrt5}} /right. /; /; /left /{ {{2ab=/frac{15}{2}(a+b)} /atop {/frac{a^2+b^2}{2}=25/cdot 5}} /right. /; /; /left /{ {{/frac{4}{15}ab=a+b} /atop {a^2+b^2=250}} /right. /; /; /left /{ {{(a+b)^2=/frac{16}{225}(ab)^2} /atop {a^2+b^2=250}} /right. ////// /left /{ {{a^2+2ab+b^2=/frac{16}{225}(ab)^2} /atop {a^2+b^2=250}} /right. /; /; /left /{ {{250+2ab=/frac{16}{225}(ab)^2} /atop {a^2+b^2=250}} /right. /////frac{16}{225}(ab)^2-2(ab)-250=0$

$t=ab/ /textgreater / 0/; ,/; /; /frac{16}{225}t^2-2t-250=0/; |/cdot 225 ////16t^2-450t-56250=0////D/4=950625=975^2////t_1= /frac{225-975}{16} =-46,875/ /textless / 0/; /; /; ne/; podxodit////t_2= /frac{225+975}{16}=75/ /textgreater / 0 /; /; /Rightarrow /; /; /; ab=75//// /left /{ {{ab=75} /atop {/frac{2ab}{a+b}=7,5}} /right. /left /{ {{ab=75} /atop {/frac{150}{a+b}=7,5}} /right. /; /; /left /{ {{yab=75} /atop {a+b=/frac{150}{7,5}}} /right. /; /; /left /{ {{ab=75} /atop {a+b=20}} /right. /; /; /left /{ {{a(20-a)=75} /atop {b=20-a}} /right.$

$a^2-20a+75=0$

По теореме Виета : $a_1=5/; ,/; /; a_2=15$ .
Тогда $b_1=15/; ,/; /; b_2=5$ .
Основания трапеции равны 5 и 15 .