Опубликовано 26.01.2018 по предмету Математика от Гость

А)Решите уравнение:
2log^2(cosx)-7log(cosx)-4=0

Б)найдите все корни этого уравнения принадлежащие промежутку [2пи;7пи/2]

Ответ оставил Гость

$2log_4^2(cosx)-7log_4(cosx)-4=0$

ОГРАНИЧЕНИЯ: $0/ /textless / cosx/ /textless / 1$

замена $log_4(cosx)$ на переменную $a$ превращает наше уравнение в следующее:
$2a^2-7a-4=0$

считаем дискриминант:
$D=b^2-4ac=(-7)^2-4*2*(-4)=49+32=81=9^2$

и находим корни (относительно нашей искусственно-введённой переменной, конечно):
$a_1=/frac{7+9}{4}=4//a_2=/frac{7-9}{4}=-/frac{1}{2}$

обратная замена:
$/left[/begin{array}{ccc}log_4(cosx)=4//log_4(cosx)=-/frac{1}{2}/end{array}/right/to/left[/begin{array}{ccc}cosx=4^4//cosx=4^{-/frac{1}{2}}/end{array}/right$

первый случай нас не устраивает из-за ограничений, выведенных ещё в начале решения, а вот второй вполне — решаем его:
$cosx=4^{-/frac{1}{2}}=/frac{1}{4^{/frac{1}{2}}}=/frac{1}{2}//x=/left[/begin{array}{ccc}/frac{/pi}{3}+2/pi n,n/in Z///frac{5/pi}{3}+2/pi n_1,n_1/in Z/end{array}/right$

на листке я отобрал корни и получил такой ответ: $x=/frac{7/pi}{3}$

итак, пишем ответ: а) $x=/left[/begin{array}{ccc}/frac{/pi}{3}+2/pi n,n/in Z///frac{5/pi}{3}+2/pi n_1,n_1/in Z/end{array}/right$ ; б) $x=/frac{7/pi}{3}$