Опубликовано 26.01.2018 по предмету Математика от Гость

Найти все значения параметра a при каждом из которых все решения уравнения 4|x-3a|+x+6a-24=0 принадлежат отрезку 6;12

Ответ оставил Гость

Рассмотрим 2 случая:

1 случай. Если $x-3a /geq 0$ , тогда получим
$4(x-3a)+x+6a-24=0// 4x-12a+x+6a-24=0// 5x-6a-24=0// x= /frac{6a+24}{5}$

Учитывая, что решения должны принадлежать отрезкy [6;12], то

$/displaystyle /left /{ {{ /frac{6a+24}{5} -3a /geq 0} /atop {6 /leq /frac{6a+24}{5} /leq 12}} /right. /Rightarrow /left /{ {{6a+24-15a /geq 0} /atop {30 /leq 6a+24 /leq 60}} /right. /Rightarrow /left /{ {{a /leq 3} /atop {1 /leq a /leq 6}} /right.$

Общее: $a /in [1;3]$

Случай 2. Если $x-3a/ /textless / 0$ , тогда получим
$-4(x-3a)+x+6a-24=0// -4x+12a+x+6a-24=0// -3x+18a-24=0|:3// -x+6a-8=0// x=6a-8$

Опять учтем, что

$/displaystyle /left /{ {{6a-8-3a/ /textless / 0} /atop {6 /leq 6a-8 /leq 12}} /right. /Rightarrow /left /{ {{a/ /textless / /frac{8}{3} } /atop { /frac{7}{3} /leq a /leq /frac{10}{3} }} /right. /Rightarrow/boxed{a/in /bigg[/frac{7}{3};/frac{8}{3}/bigg) }$

Общее решение $/displaystyle /left /{ {{1 /leq a /leq 3} /atop {/frac{7}{3} /leq a/ /textless / /frac{8}{3}}} /right. /Rightarrow/,/,/,/,/, /frac{7}{3} /leq a/ /textless / /frac{8}{3}$

Проверим на концах отрезках решение уравнения
Если $a=/frac{8}{3}$ , то

$4|x-3/cdot/frac{8}{3}|+x+6/cdot/frac{8}{3}-24=0// 4|x-8|+x+16-24=0// 4|x-8|+x-8=0//x=8$

a=8/3 - подходит.

Ответ: $a /in /bigg[/dfrac{7}{3};/dfrac{8}{3}/bigg]$