Опубликовано 26.01.2018 по предмету Математика от Гость

При каких значениях а уравнение имеет четыре корня
Х^4+(а-3)х^2+(а+10)^2=0

Ответ оставил Гость

Произведем замену. Пусть $x^2=t(t /geq 0)$ , тогда придем к уравнению вида $t^2+(a-3)t+(a+10)^2=0.$ Поскольку t - положительное число, то корни квадратного трехчлена $At^2+Bt+C$ с действительными коэффициентами оба действительны и оба больше данного числа $/gamma$ ( $t_1/ /textgreater / /gamma,/,/, t_2/ /textgreater / /gamma)$ , когда $/begin{cases} & /text{ } B^2-4AC /geq 0 // & /text{ } A(A/gamma^2+B/gamma+C)/ /textgreater / 0 // & /text{ } /gamma/ /textless / - /dfrac{B}{2A} /end{cases}.$

Согласно этому и условию, имеем $/begin{cases} & /text{ } (a-3)^2-4(a+10)^2 /geq 0 // & /text{ } 1/cdot(1/cdot 0^2+B/cdot 0+(a+10)^2)/ /textgreater / 0 // & /text{ } 0/ /textless / - /dfrac{a-3}{2} /end{cases}$

Рассмотрим неравенства отдельно

$(a-3)^2-4(a+10)^2 /geq 0$ . Применяя формулу сокращенного умножения $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в левой части неравенства, получим $(a-3-2a-20)(a-3+2a+10) /geq 0$ , тогда $(-a-23)(3a+7) /geq 0$ . Приравняв к нулю, получим корни $a_1=-23;/,/,/, a_2=- /frac{7}{3}$

$(a+10)^2/ /textgreater / 0$ . Левая часть неравенства принимает только положительные значения, значит неравенство выполняется при $a /in (-/infty;-10)/cup(-10;+/infty)$

$0/ /textless / -/frac{a-3}{2}$ . Умножив обе части неравенства на 2, получим $-a+3/ /textgreater / 0$ откуда $a/ /textless / 3$

Общее решение системы неравенств $a /in [-23;-10)/cup(-10;- /frac{7}{3} ]$

Проверим теперь некоторые нюансы. Если $a=-23$ , то неравенство примет вид $x^4-26x^2+169=0$ . Используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ , получим $(x^2-13)^2=0$ , тогда $x^2=13$ откуда $x=/pm /sqrt{13}$ . Значит при а=-23 уравнение имеет 2 корня, следовательно, а=-23 нам не подходит.

Если $a=- /frac{7}{3}$ , то уравнение примет вид $9x^4-48x^2+529=0$ . Решив квадратное уравнение относительно $x^2$ , имеем $D=(-48)^2-4/cdot9/cdot529/ /textless / 0$ . Поскольку D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: $a/in (-23;-10)/cup(-10;- /frac{7}{3} )$