Опубликовано 26.01.2018 по предмету Математика от Гость

Даны четыре вектора в некотором базисе.Показать что векторы a,b,c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. a(3,4,-3); b(-5,5,0); c(2,1,-4); d(8,-16,17).Помогите решить с раскрытым и понятным решением

Ответ оставил Гость

1) чтобы показать что векторы a,b,c образуют базис, нужно чтобы определитель из их координат был отличен от нуля:(первая строка по первым числам координат, вторая- по вторым и третья-по третьим)

раскладываем по третьей строке:

$/begin{vmatrix} 3 &-5 &2 // 4 & 5 & 1 // -3 & 0 & -4 /end{vmatrix}=-3*/begin{vmatrix}-5 &2 // 5& 1/end{vmatrix}-4*/begin{vmatrix}3& -5 // 4 & 5 /end{vmatrix}=-3*(-5-10 )- // // -4*(15+20)=-3*(-15)-4*35=-95 /neq 0$

определитель не равен нулю, значит векторы a,b,c образуют базис

2) вектор d в этом базисе будет иметь координаты:
$d= /alpha a+ /beta b+ /gamma c$

вся задача сводится к тому, чтобы найти α,β и γ

перепишем все в координатной форме:

$(8,-16,17)= /alpha (3,4,-3)+ /beta (-5,5,0)+ /gamma (2,1,-4) // // (8,-16,17)=(3 /alpha ,4 /alpha ,-3 /alpha )+ (-5 /beta ,5 /beta ,0)+ (2/gamma,/gamma,-4/gamma) // // /left/{/begin{matrix} 3/alpha -5/beta +2/gamma =8 // 4/alpha +5/beta +/gamma =-16 // -3/alpha+ 0/beta -4/gamma =17 /end{matrix}/right.$

решаем систему методом Гаусса:

$/begin{pmatrix} 3 & -5& 2 &8 // 4&5 & 1 &-16 // -3 & 0 & -4& 17 /end{pmatrix} =/begin{pmatrix} 3 & -5& 2 &8 // 4&5 & 1 &-16 // 0 & -5 & -2 & 25 /end{pmatrix}= // // // =/begin{pmatrix} 12 & -20& 8 &32 // -12& -15 & -3 & 48// 0 & -5 & -2& 25 /end{pmatrix} = /begin{pmatrix} 12 & -20& 8 &32 // 0& -35 & 5 & 80 // 0 & -5 & -2 & 25 /end{pmatrix}= // // // = /begin{pmatrix} 12 & -20& 8 &32 // 0& -35 & 5 & 80 // 0 & 35 & 14 & -175 /end{pmatrix} =$

$=/begin{pmatrix} 12 & -20& 8 &32 // 0& -35 & 5 & 80 // 0 & 0 & 19 & -95 /end{pmatrix} // //$

$/left/{/begin{matrix} 12/alpha -20/beta +8/gamma =32 // -35/beta +5/gamma =80 // 19/gamma =-95 /end{matrix}/right. /Leftrightarrow /left/{/begin{matrix} 12/alpha -20/beta +8/gamma =32 // -35/beta -25 =80 // /gamma =-5 /end{matrix}/right. /Leftrightarrow // // // /Leftrightarrow /left/{/begin{matrix} 12/alpha+60 -40=32 // /beta =-3 // /gamma =-5 /end{matrix}/right. /Leftrightarrow /left/{/begin{matrix} /alpha =1 // /beta =-3 // /gamma =-5 /end{matrix}/right. /$

$OTBET: / d=a-3b-5c$