Опубликовано 26.01.2018 по предмету Математика от Гость

Помогите решить диф. уравнение: x^3y+x^2y-y^2=2x^4

Ответ оставил Гость

Уравнение Риккати.
$x^3y+x^2y-y^2=2x^4$
Разделим на $x^3$
$y + /frac{y}{x} - /frac{y^2}{x^3} = 2x$
Ищем частное решение. Пусть $y_1 = cx^2$ , подставляем в уравнение:
$(cx^2) + /frac{cx^2}{x} + /frac{(cx^2)^2}{x^3} = 2x$
$2cx + cx - c^2x - 2x = 0$
$c^2 - 3c + 2 = 0$
$D = 9 - 8 = 1$
$/sqrt{D} =1$
$c_1 = 1$
$y_1 = c_1x^2 = x^2$
Что ж мы получили частное решение, теперь нужно найти общее:
$y = y_1 + v = x^2 + v$
Снова подставляем в уравнение:
$(x^2 + v) + /frac{x^2 + v}{x} - /frac{(x^2 + v)^2}{x^3} = 2x$
$2x+ v + x+ /frac{v}{x} - x - /frac{2v}{x} - /frac{v^2}{x^3} = 0$
$v - /frac{v}{x} = /frac{u^2}{x^3}$
$/frac{dv}{dx} - /frac{v}{x} = /frac{v^2}{x^3}$
Разделим на $v^2$ обе части:
$/frac{1}{v^2} /frac{dv}{dx} - /frac{1}{vx} = /frac{1}{x^3}$
Пусть: $g = /frac{1}{v}$ , тогда $g = /frac{v}{v^2}$
Итоговое уравнение после подстановки:
$g + /frac{g}{x} = - /frac{1}{x^3}$
Домножим на x
$x/frac{dg}{dx} + g = - /frac{1}{x^2}$
$/frac{d}{dx}(xdg) + /frac{d}{dx}(gdx) = - /frac{1}{x^2}$
По правилам дифференцирования произведения производных (uv) = uv + vu, но у нас тут вместо штрихов дифференциалы. Получаем:
$/frac{d}{dx} (x*g) = - /frac{1}{x^2}$
$/int /frac{d}{dx}xg = /int - /frac{1}{x^2} dx$
$xg = /frac{1}{x} + C$
$g = /frac{1}{v} = /frac{1+ Cx}{x^2} }$
$v = /frac{x^2}{1+ Cx} }$
ИТОГОВАЯ ФУНКЦИЯ:
$y = y_1 + v = x^2 + /frac{x^2}{1+ Cx} } = /frac{x^2+ x^2 + Cx^3}{1+ Cx} } = /frac{2x^2 + Cx^3}{1+ Cx} }$