Опубликовано 26.01.2018 по предмету Математика от Гость

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты:

интеграл от -бескон до + бескон (cosxdx)/(1+x^4)

Ответ оставил Гость

Вычислим предел интеграла
$/displaystyle/lim_{R/to/infty}/oint_{C_R}/frac{e^{iz}/,dz}{1+z^4}$
где интеграл берётся по контуру, состоящему из верхней полуокружности и отрезка [-R, R], обходимому в положительном направлении.

С одной стороны, этот интеграл можно представить в виде суммы интегралов по дуге и отрезку, притом в силу леммы Жордана интеграл по дуге стремится к нулю, так как
$/displaystyle/left|/frac1{1+z^4}/right|=o/left(/frac1{R^3}/right)$

С другой стороны, этот интеграл можно взять при помощи вычетов. Под интегралом стоит мероморфная функция, имеющая простые полюсы в корнях 4-й степени из -1. В контур интегрирования попадают два из них, $e^{i/pi/4}$ и $e^{i3/pi/4}$ . Значения вычета функции f(z) / g(z) в простом полюсе z=z0, если f(z) не имеет особенностей в точке z0, а g(z) дифференцируема, вычисляются по формуле f(z0) / g(z0).

$/displaystyle/oint/dots=2/pi i /sum_j /mathop{/mathrm{res}}/limits_{z=z_j}/frac{e^{iz}}{1+z^4}=2/pi i/left(/frac{e^{/frac 1{/sqrt2}(-1+i)}}{4(e^{i/pi/4})^3}+/frac{e^{/frac 1{/sqrt2}(-1-i)}}{4(e^{i3/pi/4})^3}/right)=//=/frac{e^{-1//sqrt2}/pi i}2/left(e^{i/left(/frac 1{/sqrt2}-/frac{3/pi}4/right)}+e^{i/left(/frac {-1}{/sqrt2}-/frac{/pi}4/right)}/right)$

$/displaystyle/int_{-/infty}^{/infty}/frac{/cos x/,dx}{1+x^4}=/mathop{/mathrm{Re}}/lim_{R/to/infty}/int_{-R}^R/frac{e^{iz}/,dz}{1+z^4}=/mathop{/mathrm{Re}}/lim_{R/to/infty}/oint_{C_R}/frac{e^{iz/,dz}}{1+z^4}=//=/mathop{/mathrm{Re}}/frac{e^{-1//sqrt2}/pi i}2/left(e^{i/left(/frac 1{/sqrt2}-/frac{3/pi}4/right)}+e^{i/left(/frac {-1}{/sqrt2}-/frac{/pi}4/right)}/right)=$
$/displaystyle=-/frac{e^{-1//sqrt2}/pi}2/mathop{/mathrm{Im}}/left(e^{i/left(/frac 1{/sqrt2}-/frac{3/pi}4/right)}+e^{i/left(/frac {-1}{/sqrt2}-/frac{/pi}4/right)}/right)=//=-/frac{e^{-1//sqrt2}/pi}2/left(/sin/left(/frac1{/sqrt2}-/frac{3/pi}4/right)-/sin/left(/frac1{/sqrt2}+/frac/pi4/right)/right)=//=/frac{e^{-1//sqrt2}/pi}{/sqrt2}/left(/sin/left(/frac1{/sqrt2}/right)+/cos/left(/frac1{/sqrt2}/right)/right)$