Опубликовано 26.01.2018 по предмету Математика от Гость

В сосуде находится 3 белых и 4 черных шара. Шары извлекаются таким образом что каждый извлеченный шар возвращается обратно в сосуд. Определить вероятность того, что при 250 извлечениях белый шар появится 100 раз. Как решить

Ответ оставил Гость

Вероятность появления белого шара p = 3/7, вероятность появления чёрного шара q = 4/7. Схема Бернулли: вероятность того, что успех случится 100 раз из 250, равна
$C_{250}^{100}p^{100}q^{250-100}$

Можно заморочиться и посчитать точно, что эта вероятность равна 636522120602316962436409895601286821518590002587367804667920915910562009586884711327793703549853115718094348743586401297080998337769446404536214437849453126758036855250784826528799004094645437287261942012968960/18815250448759004797747440398770460753278965824274520564699796772813240860593715176907610212053994345747048043436940455072863886866361465162101062196720299016151483118251038883996011300645825474625761742043131249 = 0,0338...

Однако считать это вручную — некоторая морока, поэтому проще воспользоваться приближенными методами. Например, подойдёт теорема Муавра-Лапласа. В соответствии с ней вероятность получить k успехов в n испытаниях Бернулли равна
$P_n(k)/approx/dfrac1{/sqrt{npq}}/varphi/left(/dfrac{k-np}{/sqrt{npq}}/right)$ ,
где $/varphi(t)$ — функция Лапласа (плотность вероятности нормального распределения), значения которой берутся из таблицы.

$/sigma=/sqrt{npq}=/sqrt{250/cdot/dfrac37/cdot/dfrac47}/approx 7.8// /left|/dfrac{k-np}/sigma/right|/approx/dfrac{7.1}{7.8}/approx0.91// P_{250}(100)/approx/dfrac1{7.8}/cdot/varphi(-0.91)/approx/dfrac1{7.8}/cdot0.2637/approx0.0338$