Докажите, что если (a+b) делится на 9, a*b делится на 9, то:
а) (а^2 + b^2) делится на 9;
б) (а^3 + b^3) делится на 81;
в) (а^3 + b^3) делится на 243.

Дано:
(a + b) : 9
 ab : 9

а) a² + b² = (a²+2ab+b²) - 2ab = (a+b)² - 2ab 
Так как и уменьшаемое  и вычитаемое делятся на 9, то их разность тоже делится на 9.

б) a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = (a+b)((a²+2ab+b²)-3ab) = 
= (a+b)((a+b)²)-3ab) = (a+b)(a+b)² -3ab(a+b) = 
=(a+b)³ -3ab(a+b)  
 Так как каждый из двух множителей делится на 9, то произведение делится на 9·9 = 81. 
Так как (a+b)³ трижды делится на 9, значит, оно делится и на 81;
В выражении 3ab(a+b) по условию ab : 9 и  (a+b) :9 делится на 81, то и выражение 3ab(a+b) делится на 9·9=81. 
Так как и уменьшаемое  и вычитаемое делятся на 81, то их разность тоже делится на 81.

в) a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = (a+b)((a²+2ab+b²)-3ab) = 
= (a+b)((a+b)²)-3ab) = (a+b)(a+b)² -3ab(a+b) = 
=(a+b)³ - 3ab(a+b) 

Так как (a+b)³ трижды делится на 9, значит, оно делится и на 9·9·9=729,  и на 9·9·3 = 243;

В произведении 3ab(a+b)
первый множитель 3 делится на 3;
второй множитель ab : 9 по условию;
третий множитель (a+b) :9 по условию, значит, всё произведение 3ab(a+b) делится на 3 ·9·9 = 243. 

Так как и уменьшаемое  и вычитаемое делятся на 243, то их разность тоже делится на 243.

Если ответ по предмету Математика отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.