Опубликовано 26.01.2018 по предмету Математика от Гость

Найти общее решение дифференциального уравнения: 2x^2y=x^2+y^2;

yy=2y-x

Ответ оставил Гость

Линейное однородное дифференциальное уравнение
$2x^2y=x^2+y^2//y=tx;y=tx+t//2x^2(tx+t)=x^2+t^2x^2|:x^2//2/frac{dt}{dx}x+2t=1+t^2///frac{2xdt}{dx}=t^2-2t+1|*/frac{dx}{x(t^2-2t+1)}///frac{dx}{x}=/frac{2dt}{t^2-2t+1}///int/frac{dx}{x}=2/int/frac{d(t-1)}{(t-1)^2}//ln|x|=-/frac{2}{t-1}+C//ln|x|+/frac{2}{/frac{y}{x}-1}=C//ln|x|+/frac{2x}{y-x}=C$
В результате деления на t^2-2t+1 мы теряем возможное решение: x=y, проверяем:
$y=x//y=1//2x^2y=x^2+y^2//2x^2=x^2+x^2//2x^2=2x^2$
y=x является решением дифференциального уравнения.
Окончательный ответ:
$ln|x|+/frac{2x}{y-x}=C;y=x$
----------
Линейное однородное дифференциальное уравнение
$yy=2y-x//y=tx;y=tx+t//tx(tx+t)=2tx-x|:x//t(tx+t)=2t-1//tx+t=2-/frac{1}{t}///frac{xdt}{dx}=/frac{2t-1-t^2}{t}///frac{dx}{x}=-/frac{1}{t-1}-/frac{1}{(t-1)^2}///int/frac{dx}{x}=-/int/frac{d(t-1)}{t-1}-/int/frac{d(t-1)}{(t-1)^2}//ln|x|=-ln|t-1|+/frac{1}{t-1}+C//ln|y-x|-/frac{x}{y-x}=C$
В результате деления на t мы теряем возможное решение: y=0, проверяем:
$y=0//y=0//0/neq0-x//0/neq x$
Нет, y=0 не является решением дифференциального уравнения.